Question

如圖，直三棱柱，，點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn)。

   (Ⅰ)證明：∥平面;

   (Ⅱ)若二面角為直二面角，求的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析          （2）

【解析】（1）證法一：連結(jié)，由已知

AB=AC，三棱柱為直三棱柱，所以M為中點(diǎn)，

又因?yàn)镹為的中點(diǎn)，所以∥.

又,,因此∥

證法二：取中點(diǎn)P，連結(jié)MP,NP，而M，N分別為的中點(diǎn)，所以MP∥，PN∥，所以MP∥，PN∥，又,

因此∥.而，因此MN∥

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線AB，AC, 為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示.

設(shè)，則，

于是，

，

所以

設(shè)是平面的法向量

由得

可取

設(shè)是平面的法向量

由得

可取

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821195621627838/SYS201207182120376225372199_DA.files/image034.png">為直二面角，所以

即，解得

考點(diǎn)定位：本大題主要以直三棱柱為幾何背景考查線面垂直的判定和二面角的求法，可以運(yùn)用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量方法求解.突出考查空間想象能力和計(jì)算能力