Question

17．在△ABC中，內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=8$，∠BAC=θ．
（I）若${sin^2}（{θ+\frac{π}{4}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2θ=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，求三角形的面積；
（II）若a=4，求bc的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結合范圍θ∈（0，π），可得2θ+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），利用特殊角的三角函數值可求θ的值，進而利用三角形面積公式，平面向量數量積的運算即可計算得解．
（II）利用平面向量數量積的運算，余弦定理可得b²+c²=32，進而利用基本不等式即可計算得解bc的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（I）∵${sin^2}（{θ+\frac{π}{4}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2θ=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1-cos（2θ+\frac{π}{2}）}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2θ$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，可得：$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…3分
又∵θ∈（0，π），可得：2θ+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
∴2θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得：θ=$\frac{π}{6}$…5分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinθ=$\frac{1}{2}×$$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{cosθ}$×sinθ=4tanθ=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$…7分
（II）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=8$=bccosθ，a=4，
又∵b²+c²-2bccosθ=16，
∴b²+c²=32，
又∵b²+c²≥2bc，可得：bc≤16（當且僅當b=c時取等號），
∴bc的最大值為16…12分

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，特殊角的三角函數值，三角形面積公式，平面向量數量積的運算，余弦定理，基本不等式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．