Question

已知函數(shù)f（x）=log_kx（k為常數(shù)，k＞0且k≠1），且數(shù)列{f（a_n）}是首項為4，
公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若b_n=a_n•f（a_n），當(dāng)時，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（III）若c_n=a_nlga_n，問是否存在實數(shù)k，使得{c_n}中的每一項恒小于它后面的項？若存在，求出k的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知可得f（a_n）=2n+2=log_ka_n⇒a_n=k²ⁿ⁺²，利用定義可證，從而可得數(shù)列a_n為等比數(shù)列
（II）當(dāng)，由（I）可得b_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²=（2n+2）•2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ⁺²，利用“乘公比錯位相減”求和
（III）由（I）可知c_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk，若使得{c_n}中的每一項恒小于它后面的項⇒c_n＜c_n+1⇒（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk對一切n∈N^*成立，分①lgk＞0②lgk＜0討論求解．
解答：解：（Ⅰ）證明：由題意f（a_n）=4+（n-1）×2=2n+2，即log_ka_n=2n+2，（1分）
∴a_n=k²ⁿ⁺²∴．（2分）
∵常數(shù)k＞0且k≠1，∴k²為非零常數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}是以k⁴為首項，k²為公比的等比數(shù)列．（3分）

（II）解：由（1）知，b_n=a_nf（a_n）=k²ⁿ⁺²•（2n+2），
當(dāng)時，b_n=（2n+2）•2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ⁺²．（4分）
∴S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²，①2S_n=2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³．②（5分）
②-①，得S_n=-2•2³-2⁴-2⁵--2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³=-2³-（2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²）+（n+1）•2ⁿ⁺³
∴=n•2ⁿ⁺³．（8分）

（III）解：由（1）知，c_n=a_nlga_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk，要使c_n＜c_n+1對一切n∈N^*成立，
即（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk對一切n∈N^*成立．（9分）
①當(dāng)k＞1時，lgk＞0，n+1＜（n+2）k²對一切n∈N^*恒成立；（10分）
②當(dāng)0＜k＜1時，lgk＜0，n+1＞（n+2）k²對一切n∈N^*恒成立，只需，（11分）
∵單調(diào)遞增，
∴當(dāng)n=1時，．（12分）
∴，且0＜k＜1，
∴．（13分）
綜上所述，存在實數(shù)滿足條件．（14分）
點評：本題綜合考查數(shù)列的基本知識、方法和運算能力，滲透了函數(shù)的知識，以及分類討論和化歸、轉(zhuǎn)化的思想方法、．錯位相減法是數(shù)列求和的一種重要方法，學(xué)習(xí)中要引起重視．