Question

如圖，正三棱錐O－ABC的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，且長度均為2．E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，H是EF的中點(diǎn)，過EF作平面與側(cè)棱OA、OB、OC或其延長線分別相交于A₁、B₁、C₁，已知．

(1)求證：B₁C₁⊥平面OAH；

(2)求二面角O－A₁B₁－C₁的大小；

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：依題設(shè)，是的中位線，所以∥，則∥平面，所以∥． 　　又是的中點(diǎn)，所以⊥，則⊥． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1272/0020/0f5c4cd086d971c42e86da9dbc4e87ac/C/Image137.gif" width=25 height=18>⊥，⊥， 　　所以⊥面，則⊥， 　　因此⊥面． 　　(2)作⊥于，連．因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1272/0020/0f5c4cd086d971c42e86da9dbc4e87ac/C/Image145.gif" width=29 height=24>⊥平面，根據(jù)三垂線定理知，⊥，就是二面角的平面角． 　　作⊥于，則∥，則是的中點(diǎn)，則． 　　設(shè)，由得，，解得， 　　在中，，則，． 　　所以，故二面角為． 　　解法二：(1)以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 　　 　　所以 　　所以 　　所以平面 　　由∥得∥，故：平面 　　(2)由已知設(shè) 　　則 　　由與共線得：存在有得 　　 　　同理： 　　 　　設(shè)是平面的一個法向量, 　　則令得 　　又是平面的一個法量 　　 　　所以二面角的大小為 　　(3)由(2)知，，，平面的一個法向量為． 　　則． 　　則點(diǎn)到平面的距離為