Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F（-

3

，0），右頂點為D（2，0），設(shè)點A（1，

1

2

）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線l與橢圓相交弦BC的中點為A，求直線l的方程；
（3）求△FBC的面積S_△FBC．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用左焦點為F（-

3

，0），右頂點為D（2，0），得到a，c，可得b，即可求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用點差法，求斜率，即可求直線l的方程；
（3）求出B，C的坐標(biāo)，可得|BC|，求出F到直線BC距離，即可求△FBC的面積S_△FBC．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=

3

，a=2，
∴b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1（4分）
（2）B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）則代入橢圓方程作差得

x12-x22

4

+y12-y22=0
∵直線l與橢圓相交弦BC的中點為A，
∴直線的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

，故直線BC方程：x+2y-2=0  （8分）
（3）聯(lián)立

x2

4

+y2=1與x+2y-2=0，解得線段BC兩端點坐標(biāo)分別為（0，1）（2，0），
故|BC|=

5

，F(xiàn)到直線BC距離d=

3 +2

5

，
∴S_△FBC=

1

2

|BC|d=

1

2

•

5

•

3 +2

5

=1+

3

2

    （12分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，正確運用點差法是關(guān)鍵．