Question

若f（x）在R上可導(dǎo)，
（1）求f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=-a處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；
（2）證明：若f（x）為偶函數(shù)，則f′（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

（1）設(shè)f（-x）=g（x），則
g′（a）=

lim

△x→0

g(a+△x)-g(a)

△x

=

lim

△x→0

f(-a-△x)-f(-a)

△x

=-

lim

-△x→0

f(-a-△x)-f(-a)

-△x

=-f′（-a）．
∴f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=-a處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù)．
（2）證明：f′（-x）=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-f′（x）．
∴f′（x）為奇函數(shù)．