Question

已知拋物線E：x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線方程是y=-

1

2

．
（1）求拋物線E的方程；
（2）過點(diǎn)F（0，

1

2

）的直線l與拋物線E交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)N（0，a）（a＜0），且

NP

•

NQ

≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程求出p的值，則拋物線的方程可求；
（2）設(shè)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，代入

NP

-

NQ

≥0后整理得到2k2+1≥a-

3

4a

，對k∈R恒成立，求出不等式左邊的范圍后代入不等式求解a的范圍．

解答：解：（1）∵拋物線的準(zhǔn)線方程是y=-

1

2

，∴-

p

2

=-

1

2

，解得p=1，
拋物線E的方程是x²=2y．
（2）設(shè)直線l方程是y=kx+

1

2

，與x²=2y聯(lián)立，消去y得，
x²-2kx-1=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=2k，x₁x₂=-1，
∵

NP

•

NQ

≥0，∴x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）≥0，
又y1y2=

x12x22

4

，y1+y2=

x12+x22

2

=

(x1+x2)2-2x1x2

2

，
得2k2+1≥a-

3

4a

，對k∈R恒成立，
而2k²+1≥1，∴a-

3

4a

≤1(a＜0)，解得a≤-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，訓(xùn)練了分離變量法，屬有一定難度題目．