Question

已知函數(shù)f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）當(dāng)a=2時，把函數(shù)f（x）寫成分段函數(shù)的形式，并畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）問是否存在正數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上既有最大值又有最小值．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用絕對值的幾何意義，可得分段函數(shù)，從而可得函數(shù)的圖象；
（2）當(dāng)a＞0時，由函數(shù)的圖象可知，要使得函數(shù)f（x）在開區(qū)間（m，n）內(nèi)既有最大值又有最小值，則最小值一定在x=a處取得，最大值在x=

3

4

a處取得，從而可得不等式組，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時，f(x)=x2+3x|x-2|=

4x2-6x，x≥2 -2x2+6x，x＜2

，此時f（x）的圖象如圖所示：…（5分）

（2）當(dāng)a＞0時，由函數(shù)的圖象可知，要使得函數(shù)f（x）在開區(qū)間（m，n）內(nèi)既有最大值又有最小值，則最小值一定在x=a處取得，最大值在x=

3

4

a處取得．
由題意得

3 4 a＞1 a＜3 f(1)＞f(a) f(3)＜f( 3 4 a)

，
又f（a）=a²，f(

3

4

a)=

9

8

a2，f（1）=3a-2，f（3）=36-9a，
代入得

3 4 a＞1 a＜3 3a-2＞a2 36-9a＜ 9 8 a2

，

4 3 ＜a＜3 1＜a＜2 a＞4 3 -4，或a＜-4 3 -4

，無解．
所以滿足條件的實(shí)數(shù)a不存在．                                    …（10分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．