Question

如圖，已知直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D為AB的中點(diǎn)，A₁D⊥AB₁，且AC=BC，
（1）求證：A₁C⊥AB₁；
（2）若CC₁到平面A₁ABB₁的距離為1，，，求三棱錐A₁-ACD的體積；
（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)B到平面A₁CD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△CAB中，先證明A₁D是A₁C在平面ABB₁A上的射影，根據(jù)AB₁⊥A₁D，由三垂線定理可得 A₁C⊥AB₁ ．
（2）先求出求得，AD=2，由 運(yùn)算求得結(jié)果．
（3）由題意得點(diǎn)B到平面A₁CD的距離為點(diǎn)A到平面A₁CD的距離，過A作AH⊥A₁D于H，可得AH⊥面ADC，AH即為所求，
根據(jù) 運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（1）證明：在△CAB中，因?yàn)锳C=BC，D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB．
又∵面ABB₁A₁⊥面ABC，且面ABB₁A∩面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB₁A₁，∴A₁D是A₁C在平面ABB₁A上的射影．
∵AB₁⊥A₁D，由三垂線定理可得 A₁C⊥AB．
（2）由（1）知CD=1，在Rt△AA₁D及Rt△AA₁B中，由，，可求得，AD=2．
∴．
（3）∵AB與平面A₁DC相交于點(diǎn)D，且D為AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)B到平面A₁CD的距離為點(diǎn)A到平面A₁CD的距離，
過A作AH⊥A₁D于H，∵面ADA₁⊥面A₁DC，∴AH⊥面ADC，∴AH即為所求．
在Rt△AA₁D中，，AD=2，，∴，
∴點(diǎn)B到平面A₁CD的距離為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線線垂直的方法，求三棱錐的體積，求點(diǎn)到平面的距離的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．