Question

（12分）圓、橢圓、雙曲線都有對(duì)稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線，它們統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)方程為.圓的很多優(yōu)美性質(zhì)可以類比推廣到有心圓錐曲線中,如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦. 類比推廣到有心圓錐曲線：已知直線與曲線：交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，若直線和(為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率都存在，則.這個(gè)性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.

（Ⅰ）證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；

（Ⅱ）利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題：

①     過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡的方程；

②     過點(diǎn)作直線與有心圓錐曲線交于兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線使點(diǎn)為線段的中點(diǎn)？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

解析：（Ⅰ）證明 設(shè)

相減得  

注意到  

有        

即                        …………………………………………5分

（Ⅱ）①設(shè)

由垂徑定理，

即       

化簡(jiǎn)得  

當(dāng)與軸平行時(shí)，的坐標(biāo)也滿足方程.

故所求的中點(diǎn)的軌跡的方程為；

…………………………………………8分

②     假設(shè)過點(diǎn)P(1,1)作直線與有心圓錐曲線交于兩點(diǎn)，且P為的中點(diǎn)，則

         

由于 

直線，即，代入曲線的方程得

         即   

         由  得.

故當(dāng)時(shí)，存在這樣的直線，其直線方程為；

當(dāng)時(shí)，這樣的直線不存在.        ………………………………12分