分析 (1)使用待定系數(shù)法求解f(x)的解析式,再利用導(dǎo)數(shù)判斷f(x)的單調(diào)性,得出極值點,計算極值;
(2)當(dāng)m=1時,g(x)=$\frac{1}{x}$+xlnx,求出g(x)的最小值,與f(x)的最大值進行比較即可得出結(jié)論.
解答 解:(1)設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d,則f′(x)=3ax2+2bx+c,f′(-x)=3ax2-2bx+c,
∴f′(x)+2f′(-x)=9ax2-2bx+3c=9x2-4x-3,
∴a=-1,b=2,c=-1,又f(0)=1,∴d=1.
∴f(x)=-x3+2x2-x+1,f′(x)=-3x2+4x-1,
令f′(x)=0得x=$\frac{1}{3}$或x=1.
∴當(dāng)x$<\frac{1}{3}$或x>1時,f′(x)<0,當(dāng)$\frac{1}{3}<x<1$時,f′(x)>0.
∴函數(shù)f(x)在(-∞,$\frac{1}{3}$)上單調(diào)遞減,在($\frac{1}{3}$,1)上單調(diào)遞增,在($\frac{1}{3}$,+∞)上單調(diào)遞減,
故當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時,f(x)取得極小值f($\frac{1}{3}$)=$\frac{23}{27}$,
當(dāng)x=1時,f(x)取得極大值f(1)=1.
證明:(2)要證明對于任意的x1,x2∈(0,+∞)都有f(x1)≤g(x2)成立即可.
只需證當(dāng)x1,x2∈(0,+∞)時,g(x2)min≥f(x1)max即可.
當(dāng)m=1時,$g(x)=\frac{1}{x}+xlnx$,則$g′(x)=-\frac{1}{x^2}+lnx+1=lnx+\frac{{{x^2}-1}}{x^2}$.
當(dāng)x∈(0,1)時,g′(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,
∴函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴gmin(x)=1,
由(1)知對任意x1∈(0,+∞),f(x1)max=1,
又m≥1,$g(x)=\frac{m}{x}+xlnx≥\frac{1}{x}+xlnx≥1$,
∴當(dāng)x1,x2∈(0,+∞)時,g(x2)min≥f(x1)max成立
故對于任意的x1,x2∈(0,+∞)都有f(x1)≤g(x2)成立.
點評 本題考查了解析式的解法,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性,極值,最值的關(guān)系,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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