Question

要修建一扇環(huán)形花圃如下圖，外圓弧的半徑是內(nèi)圓弧半徑的兩倍，周長(zhǎng)為定值2l，問(wèn)當(dāng)中心角α為多少時(shí)，其面積最大，并求其最大面積（中心角的大小限在0～π間）.

Answer 1

答案：
解析：

解法1：設(shè)內(nèi)圓弧半徑為r，則外圓弧的半徑為2r，由于扇環(huán)形花圃周長(zhǎng)為定值2l,則2r+α·r+α·2r=2l,解得α=. ∴S扇環(huán)=α·（2r）2-α·r2=α·3r2=··3r2=-r2+lr=-(r-)2+. 當(dāng)r=時(shí)，即α=時(shí)，扇環(huán)的面積最大，且最大值為. 解法2：設(shè)內(nèi)圓弧的半徑為r，則外圓弧的半徑為2r.由于扇環(huán)形花圃周長(zhǎng)為定值2l，則2r+α·r+2α·r=2l,解得：r=. ∴S扇環(huán)=α·(2r)2-α·r2=α·3r2 =α·3· = =. 當(dāng)即α=時(shí), S扇環(huán)有最大值，且最大值為.