Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

(

1

2

sin2x)．
（1）求它的定義域、值域；
（2）判斷它的奇偶性；
（3）判斷它的周期性；
（4）寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用真數(shù)大于0，解不等式，可求函數(shù)f（x）的定義域；確定真數(shù)的范圍，可求函數(shù)f（x）的值域；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，故此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（3）利用周期函數(shù)的定義，可求函數(shù)的周期；
（4）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，故求函數(shù)t=sin2x的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合原函數(shù)的定義域，可得函數(shù)的遞增區(qū)間．

解答：解：（1）由

1

2

sin2x＞0，∴sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈Z，解得kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?span id="deo7nx0" class="MathJye">{x|kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}…（3分）
因0＜

1

2

sin2x≤

1

2

，故log

1

2

(

1

2

sin2x)≥1
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，+∞）．…（5分）
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)?span id="dpxmuox" class="MathJye">{x|kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，故此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．…（7分）
（3）因?yàn)?span id="rofcmje" class="MathJye">log

1

2

(

1

2

sin2(x+π))=log

1

2

(

1

2

sin2x)，所以此函數(shù)的周期為T(mén)=π．…（10分）
（4）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，故求函數(shù)t=sin2x的單調(diào)遞減區(qū)間．
又考慮到原函數(shù)的定義域，故2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+π，k∈Z，
即為kπ+

π

4

＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z
故函數(shù)的遞增區(qū)間為（kπ+

π

4

，kπ+

π

2

），k∈Z．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．