Question

1．如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一個內(nèi)接四邊形為綠地，使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，設(shè)AE=x，綠地面積為y．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)AE為何值時，綠地面積y最大？

Answer 1

分析 （1）利用y=S_ABCD-2（S_△AEH+S_△BEF），化簡即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知y=-2x²+（a+2）x的圖象為開口向下、對稱軸是$x=\frac{a+2}{4}$的拋物線，比較$\frac{a+2}{4}$與2的大小關(guān)系并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，${S_{△AEH}}={S_{△CFG}}=\frac{1}{2}{x^2}$，
${S_{△BEF}}={S_{△DGH}}=\frac{1}{2}（{a-x}）（{2-x}）$，
∴$y={S_{ABCD}}-2{S_{△AEH}}-2{S_{△BEF}}=2a-{x^2}-（{a-x}）（{2-x}）=-2{x^2}+（{a+2}）x$，
由題意$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ a-x＞0\\ 2-x≥0\\ a＞2\end{array}\right.$，解得：0＜x≤2，
∴y=-2x²+（a+2）x，其中0＜x≤2；
（2）∵y=-2x²+（a+2）x的圖象為拋物線，其開口向下、對稱軸是$x=\frac{a+2}{4}$，
∴y=-2x²+（a+2）x在上$（{0，\frac{a+2}{4}}]$遞增，在$[{\frac{a+2}{4}，+∞}）$上遞減，
若$\frac{a+2}{4}＜2$，即a＜6，則$x=\frac{a+2}{4}$時，y取最大值$\frac{{{{（{a+2}）}^2}}}{8}$；
若$\frac{a+2}{4}≥2$，即a≥6，則y=-2x²+（a+2）x，0＜x≤2是增函數(shù)，
故當(dāng)x=2時，y取最大值2a-4；
綜上所述：若a＜6，則$AE=\frac{a+2}{4}$時綠地面積取最大值$\frac{{{{（{a+2}）}^2}}}{8}$；
若a≥6，則AE=2時綠地面積取最大值2a-4．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．