Question

 已知直線l₁：x＝my與拋物線C：y²＝4x交于O (坐標原點)，A兩點，直線l₂：x＝my＋m 與拋物線C交于B，D兩點．

(Ⅰ) 若 | BD | ＝ 2 | OA |，求實數(shù)m的值；

(Ⅱ) 過A，B，D分別作y軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，D₁．記S₁，S₂分別為三角形OAA₁和四邊形BB₁D₁D的面積，

求的取值范圍．

Answer 1

本題主要考查直線與拋物線的位置關系等基礎知識，

同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。滿分15分。

(Ⅰ) 解: 設B(x₁，y₁)， D(x₂，y₂)，

由 得

，

由Δ，得或，

且y₁＋y₂＝4m， y₁y₂＝－4m．

又由 得

y²－4my＝0，

所以y＝0或4m．

故A (4m²，4m)．

由 | BD |＝2 | OA |，得

(1＋m²)(y₁－y₂)²＝4 (16m⁴＋16m²)，

而 (y₁－y₂)²＝16m²＋16m，

故m＝．        ………………………… 6分

(Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得

x₁＋x₂＝m(y₁＋y₂)＋2m＝4m²＋2m．

 所以＝

＝

＝

＝．

令＝t，

因為或，

所以－1＜t＜0或t＞0．

故 ＝，

所以 0＜＜1 或 ＞1，工資 即 0＜＜1 或 ＞1．

所以，的取值范圍是(0，1)∪(1，＋∞)．　　………………………15分