已知M(1+cos2x，1)，N(1，
3
sin2x+a)（x∈R，a是常數(shù)），且y=
OM
•
ON
（O是坐標原點）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）若x∈[0，
π
2
]，f（x）的最大值為4，求a的值；若此時f（x）的圖象可由 y=2sin2x的圖象按向量
m
平移得到，求向量
m
．
分析：（1）由題意可得y=f（x）=
OM
•
ON
=1+cos2x+
3
sin2x+a，在利用兩角和的正弦公式化為 2sin（2x+
π
6
）+a+1．
（2）由x∈[0，
π
2
]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的最大值為2+a+1=4，可得a=1．再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性以及圖象變換規(guī)律，
求得向量
m
的坐標．
解答：解：（1）由題意可得y=f（x）=
OM
•
ON
=1+cos2x+
3
sin2x+a=2sin（2x+
π
6
）+a+1．
（2）由x∈[0，
π
2
]，可得2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，∴2sin（2x+
π
6
）∈[-1，2]，
故f（x）的最大值為2+a+1=4，a=1．
∴f（x）=2sin（2x+
π
6
）+2=2sin2（x+
π
12
）+2的周期為π，故把y=2sin2x的圖象按照向量
m
=（kπ-
π
12
，2）平移可得．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ）（其中M＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）設(shè)α∈(
π
6
，  
2π
3
)，  β∈(-
5π
6
，-
π
3
)，  f(
α
2
)=
3
5
，  f(
β
2
)=-
4
5
，求cos2（α-β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|x=cos2
(2n-1)πm
，n∈Z}，當(dāng)m為4022時，集合A的元素個數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值M，最小正周期T．
（2）若f(α)=
8
5
，求cos2α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）求值sin2120°+cos180°+tan45°-cos2（-330°）+sin（-210°）
（2）化簡：
sin(α-
π
2
)cos(α+
3π
2
)tan(π-α)
tan(-π-α)sin(-π-α)

（3）已知tanα=m，求sinα、cosα．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知．

        (1)求函數(shù)f(x)的最大值M，最小正周期T．

(2)若，求cos2α的值．

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