Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：（a為常數，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設，若數列{b_n}為等比數列，求a的值；
（3）在條件（2）下，設，數列{c_n}的前n項和為T_n．求證：．

Answer 1

解：（1）∵（a為常數，且a≠0，a≠1），
∴當n≥2時，，
化簡得（a≠0），
又∵當n=1時，a₁=s₁=a，即{a_n}是等比數列．
∴數列的通項公式a_n=a•a^n-1=aⁿ
（2）由（1）知，，
因{b_n}為等比數列，則有b₂²=b₁b₃
∵，
∴，
解得，再將代入得b_n=3ⁿ成立，
∴．
（3）證明：由（2）知，
∴
=，
∵
∴，
∴
∴數列的前n和T_n=c₁+c₂+…+c_n
+
=
分析：（1）利用通項公式和前n項和公式關系式，得到a_n與a_n-1的關系．
（2）把s_n代入b_n并化簡，已知數列為等比數列，取一些具體簡單項，再利用等比中項求出a的值．
（3）把前兩小題的結果代入c_n并化簡，由式子的特點利用放縮法證明．即兩項相減時前一項放小后一項放大，前后兩項恰好消去，然后再放縮．
點評：本題考查的知識全面，涉及到通項公式和前n項和的關系及等比數列的定義，計算量也很大，最后證明用放縮法，需要認真觀察式子的特點，恰到好處的放縮才能證明出來．做好本題需要強的計算能力和嚴密的邏輯思維能力．