Question

（本題滿分12分）
已知函數(shù)f (x)＝－ax³＋x²＋(a－1)x－ (x＞0)，(aÎR)．
(Ⅰ)當(dāng)0＜a＜時(shí)，討論f (x)的單調(diào)性；
(Ⅱ)若f (x)在區(qū)間(a, a＋1)上不具有單調(diào)性，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)0＜a＜時(shí)，f (x)在(0,1)，(－1,＋¥)遞減；在(1, －1)遞增
（2）(0，)∪(，1)．

試題分析：解：(Ⅰ) f (x)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824002756077559.png" style="vertical-align:middle;" />.
＝－a(x－1)[x－(－1)]．               ……2分
當(dāng)0＜a＜時(shí)，－1＞1，
∴f (x)在(0,1)，(－1,＋¥)遞減；在(1, －1)遞增；           ……4分
(Ⅱ) f (x)在區(qū)間上不具有單調(diào)性等價(jià)于f (x)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)．             ……5分
①當(dāng)a＝時(shí)，f ¢(x)＝－ (x－1)²≤0Þf (x)在上遞減,不合題意； …7分
②當(dāng)a≥1時(shí)，f ¢(x)＝0的兩根為x₁＝1,x₂＝－1，∵，故不合題意；③當(dāng)，且a≠時(shí)，f (x)在區(qū)間上不具有單調(diào)性等價(jià)于：
或
，且a≠．                                         ……11分
綜上可知，所求的取值范圍是(0，)∪(，1)．                     ……12分
點(diǎn)評(píng)：這類問(wèn)題的解決一般主要涉及兩類題型，求解單調(diào)區(qū)間，同時(shí)證明不等式恒成立問(wèn)題。前者經(jīng)常要對(duì)于參數(shù)分類討論，注意對(duì)于一元二次不等式的熟練運(yùn)用，是解決這個(gè)題型的關(guān)鍵，后者主要是求解函數(shù)的最值來(lái)證明不等式。如果遞增，則說(shuō)明函數(shù)在給定區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒大于等于零，反之，則恒小于等于零。來(lái)分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍。