Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-

(a+1)x

x+1

，其中a≥0
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論f（x）在其定義域上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f(x)=lnx-

2x

x+1

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，可得切線方程．
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過①當(dāng)a=0時，②當(dāng)a＞0時，構(gòu)造g（x）=ax²+（a-1）x+a（x∈（0，+∞）），利用△的符號推出a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f(x)=lnx-

2x

x+1

，f/(x)=

1

x

-

2(x+1)-2x

(x+1)2

=

1

x

-

2

(x+1)2

…（2分）
∴f/(1)=1-

1

2

=

1

2

，又f（1）=-1∴切線方程為y-(-1)=

1

2

(x-1)，
即y=

1

2

x-

3

2

…（5分）
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f/(x)=

a

x

-

(a+1)(x+1)-(a+1)x

(x+1)2

=

ax2+(a-1)x+a

x(x+1)2

…（6分）
①當(dāng)a=0時，f/(x)=-

x

x(x+1)2

=-

1

(x+1)2

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減 …（7分）
②當(dāng)a＞0時，設(shè)g（x）=ax²+（a-1）x+a（x∈（0，+∞））
（a）當(dāng)△=（a-1）²-4a²=-3a²-2a+1≤0，
即a≥

1

3

時，f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增         …（9分）
（b）當(dāng)△=-3a²-2a+1＞0即0＜a＜

1

3

時，由g（x）=0得x=

1-a± -3a2-2a+1

2a

，
∵（1-a）²-（-3a²-2a+1）=4a²＞0，
∴0＜x1=

1-a- -3a2-2a+1

2a

＜x2=

1-a+ -3a2-2a+1

2a

，
∴當(dāng)x∈（0，x₁）和（x₂，+∞）時，f′（x）≥0，
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，x₁）和（x₂，+∞），
f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（x₁，x₂）…（12分）
綜上，當(dāng)a=0時，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)0＜a＜

1

3

時，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，x₁）和（x₂，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（x₁，x₂）；
當(dāng)a≥

1

3

時，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）…（13分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查分類討論以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．