Question

已知函數(shù)f（x）=x²-cosx，對于[-，]上的任意x₁，x₂，有如下條件：①x₁＞x₂；②x₁²＞x₂²；③|x₁|＞x₂；④x₁＞|x₂|．其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件序號是________．

Answer 1

②③④
分析：利用導(dǎo)數(shù)可以判定其單調(diào)性，再判斷出奇偶性，即可判斷出結(jié)論．
解答：∵f′（x）=2x+sinx，
∴當(dāng)x=0時，f′（0）=0；當(dāng)時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=0時取得最小值，f（0）=0-1=-1．
∵?x∈[-，]，都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)．
根據(jù)以上結(jié)論可得：
①當(dāng)x₁＞x₂時，則f（x₁）＞f（x₂）不成立；
②當(dāng)x₁²＞x₂²時，得|x₁|＞|x₂|，則f（|x₁|）＞f（|x₂|）?f（x₁）＞f（x₂）恒成立；
③當(dāng)|x₁|＞x₂時，則f（x₁）=f（|x₁|）＞f（x₂）恒成立；
④x₁＞|x₂|時，則f（x₁）＞f（|x₂|）=f（x₂）恒成立．
綜上可知：能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的有②③④．
故答案為②③④．
點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、判定函數(shù)的奇偶性等是解題的關(guān)鍵．