Question

已知動圓C過定點(diǎn)F（1，0），且與定直線x=-1相切．
（Ⅰ） 求動圓圓心C的軌跡T的方程；
（Ⅱ）若軌跡T上有兩個定點(diǎn)A、B分別在其對稱軸的上、下兩側(cè)，且|FA|=2，|FB|=5，在軌跡T位于A、B兩點(diǎn)間的曲線段上求一點(diǎn)P，使P到直線AB的距離最大，并求距離的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線的定義知，到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡為拋物線，所以動圓圓心M的軌跡為拋物線，再用求拋物線方程的方法求出軌跡C的方程即可．
（Ⅱ）由已知可得F（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），（其中y₁＞0），通過已知條件求出A，B坐標(biāo)，得到直線AB的方程，設(shè)與AB平行的直線的方程為2x+y+m=0（m≠-4）．轉(zhuǎn)化為直線與拋物線相切時，切點(diǎn)到AB的距離最大，通過直線與拋物線方程組，求出切點(diǎn)坐標(biāo)以及距離的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題知意：動圓圓心C的軌跡方程為：y²=4x，
∴動圓的圓心C的軌跡T是以O(shè)（0，0）為頂點(diǎn)，以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線．
（Ⅱ）由已知可得F（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），（其中y₁＞0），
由|FA|=2得，x₁+1=2，x₁=1，所以A（1，2），
同理可得B（4，-4），
所以直線AB的方程為：2x+y-4=0．
設(shè)與AB平行的直線的方程為2x+y+m=0（m≠-4）．
當(dāng)直線與拋物線相切時，切點(diǎn)到AB的距離最大，
由方程組

2x+y+m=0 y2=4x

，消元得，
4x²+（4m-4）x+m²=0…*，
由△=（4m-4）²-16m²=0，得，m=

1

2

．
此時（*）式的解為x=

1

4

，切點(diǎn)P（

1

4

，-1），
距離最大值為：

9 5

10

．

點(diǎn)評：本題考查了定義法求軌跡方程，以及直線拋物線的位置關(guān)系，距離的最大值的求法，考查計算能力，做題時要認(rèn)真．