Question

如圖，拋物線E：y²=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A．點(diǎn)C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（I）若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|；
（II）若|AF|²=|AM|•|AN|，求圓C的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（I）由拋物線的方程表示出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，求出C到準(zhǔn)線的距離，再利用圓中弦長(zhǎng)公式即可求出|MN|的長(zhǎng)；
（II）設(shè)C（，y），表示出圓C的方程方程，與拋物線解析式聯(lián)立組成方程組，設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），利用韋達(dá)定理表示出y₁y₂，利用|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，解得C的縱坐標(biāo)，從而得到圓心C坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出|OC|的長(zhǎng)，即為圓的半徑．
解答：解：（I）拋物線E：y²=4x的準(zhǔn)線l：x=-1，
由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得C（1，2），故C到準(zhǔn)線的距離d=2，又|OC|=，
∴|MN|=2==2．
（II）設(shè)C（，y），則圓C的方程為（x-）²+（y-y）²=，
即x²-+y²-2yy=0，由x=-1得y²-2yy+1+=0，
設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），則
，
由|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，
∴1+=4，解得y=，此時(shí)△＞0
∴圓心C的坐標(biāo)為（，），|OC|²=，
從而|OC|=．
即圓C的半徑為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識(shí)有：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，韋達(dá)定理．其中根據(jù)題意確定出圓心與半徑是解本題的關(guān)鍵．