Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求函數(shù)y=f（x）的零點；
（2）．

Answer 1

解：（1）若k=2，則函數(shù)y=f（x）=|x²-1|+x² +2x，①當(dāng)x²-1≥0時，即x≥1或x≤-1時，方程化為2x²+2x-1=0，
解得x=，因為0＜＜1，故舍去，所以x=．
②當(dāng)x²-1＜0時，-1＜x＜1時，方程化為2x+1=0，解得x=-．
由①②得當(dāng)k=2時，方程f（x）=0的解所以x=，或x=-．
（II）解：不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，因為f（x）=，
所以f（x）在（0，1]是單調(diào)函數(shù)，故f（x）=0在（0，1]上至多一個解．
若 1＜x₁＜x₂＜2，則x₁x₂=-＜0，故不符題意，因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由f（x₁）=0得k=-，所以k≤-1． 由f（x₂）=0得，k=-2x₂，所以，-＜k＜-1，
故當(dāng)-＜k＜-1時，方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解，故所求的k的范圍是（-，-1）．
由于當(dāng)0＜x₁≤1＜x₂＜2時，k=-，2x₂²+kx₂-1=0，
消去k得，2x₁x₂²-x₁-x₂=0，∴x₁+x₂=2x₁x₂²，∴+==2x₂．
∵1＜x₂＜2，∴2＜2x₂＜4，∴2＜+＜4，故+ 的取值范圍是（2，4）．
綜上可得，k的范圍是（-，-1），+ 的取值范圍是（2，4）．
分析：（1）當(dāng)k=2時，方程是含有絕對值的方程，對絕對值內(nèi)的值進(jìn)行分類討論去掉絕對值后解之．
（2）先將含有絕對值的函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次函數(shù)和二元一次函數(shù)的分段函數(shù)的形式，再利用一元一次函數(shù)與二元
一次函數(shù)的單調(diào)性加以解決．
點評：本題主要考查的高考考點：函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識；易錯點：解析問題的能力較差，分類討論的問題考慮不全面．備考提示：本題還考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用所學(xué)知識、分類討論等思想方法解析和解決問題的能力，屬于中檔題．