Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，已知
（1）證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）是否存在k∈N^*，使得，若存在，求出k的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）證明：對(duì)任意m、k、p∈N^*，m+p=2k，都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先在遞推式中取n=1求出a₁，再取n=n+1得另一遞推式，兩式作差后可得到數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求通項(xiàng)公式；
（2）假設(shè)存在k∈N^*，使得，代入通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式后可求k的值；
（3）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得S_m，S_p，S_k，把要證明的不等式作差后利用基本不等式放縮后可得結(jié)論．
解答：（1）解：∵，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，．
兩式相減得，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
又，∴a₁=1
∴{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，d=2為公差的等差數(shù)列． 
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
（2）解：由（1）知，
假設(shè)正整數(shù)k滿足條件，
則（k²）²=[2（k+2048）-1]²
∴k²=2（k+2048）-1，
解得k=65；                         
（3）證明：由得：
于是
∵m、k、p∈N^*，m+p=2k，
∴
=．
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用作差法證明不等式，解答此題的關(guān)鍵是利用基本不等式進(jìn)行放縮，此題是中檔題．