Question

大樓共有n層，現(xiàn)每層指派一人，共n個人集中到第k層開會 試問如何確定k，能使各位參加會議人員上、下樓梯所走路程總和最小？（假設(shè)相鄰兩層樓梯長都一樣）

 

Answer 1

【答案】

解：設(shè)相鄰兩層樓梯長為a ，

則問題轉(zhuǎn)化為下列和式S的最小值的探求：

S = S（k) = a [1 +2 +3 + ××× + (k─1)]  + a [1 +2 + ××× + （n – k )]

= a [ k ² – (n +1) k +  (n ² + n) ]

目標函數(shù)S（k)為 k的二次函數(shù)，且a > 0 ，

故當(dāng)n為奇數(shù)時，取k = ，S最��；當(dāng)為n偶數(shù)時，取k =   或 ，S最小

【解析】本試題主要是考查了等差數(shù)列的求和在實際生活中的運用，并且求解和式的最小值問題。設(shè)相鄰兩層樓梯長為a ，

則問題轉(zhuǎn)化為下列和式S的最小值的探求S = S（k) = a [1 +2 +3 + ××× + (k─1)]  + a [1 +2 + ××× + （n – k )]

利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)論。