如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，若AB=3，BC=4，AA1=7，且AB⊥BC，設(shè)D是BB1上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)B到平面AA1C1C的距離；
（Ⅱ）當(dāng)△A1CD的周長(zhǎng)最小時(shí)，試求二面角B-AC-D的大�。�

【答案】分析：（I）先作出表示點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離的線段，過(guò)B作BE⊥AC于E，則BE⊥ACC1A1，則BE為點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離，再進(jìn)行求解；
（II）利于側(cè)面ABB1A1展到平面CC1B1B上，則當(dāng)A1，D，C共線時(shí)△A1CD的周長(zhǎng)最小，∠DEB即為所求二面角的平面角，從而可求．
解答：解：（I）過(guò)B作BE⊥AC于E，則BE⊥ACC1A1，則BE為點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離，---（3分）
可得點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離．---（6分）
（II）如圖將側(cè)面ABB1A1展到平面CC1B1B上，則當(dāng)A1，D，C共線時(shí)△A1CD的周長(zhǎng)最小，此時(shí)DB=4，---（9分）
又DE⊥AC，故∠DEB即為所求二面角的平面角，---（11分）
則，故所求二面角的大小為．---（14分）

注：對(duì)于向量法也進(jìn)行相應(yīng)給分．
點(diǎn)評(píng)：本題以直三棱柱為載體，考查點(diǎn)面距離，考查面面角，考查空間想象力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分別是棱CC1、AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CF⊥BB1；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB1的體積；
（Ⅲ）判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，E是棱CC1上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AC=BC=2，AA1=4．
（1）求證：CF⊥平面ABB1；
（2）當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí)，求證：CF∥平面AEB1；
（3）在棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A-EB1-B的大小是45°，若存在，求CE
的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，E、F分別是棱CC1、AB中點(diǎn)．
（1）判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）求四棱錐A-ECBB1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線AB和C1D所成的角（用反三角函數(shù)表示）；
（Ⅱ）若E為AB上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)D到平面B1C1E的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•莒縣模擬）如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分別是棱CCl、AB中點(diǎn)．
（I）求證：CF⊥BB1；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB1的體積；
（Ⅲ）證明：直線CF∥平面AEBl．

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