Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的等邊三角形，D為AB邊中點，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求證：平面C₁CD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求三棱錐D-CBB₁的體積．

Answer 1

分析：（1）由直三棱柱的定義證明CC₁⊥平面ABC，
（2）連接BC₁交B₁C于點O，連接DO，由三角形中位線的性質得DO∥AC₁，從而證明AC₁∥平面CDB_1，
（3）等體積法，三棱錐D-CBB₁的體積和三棱錐B₁-CBD體積相等，BB₁為三棱錐D-CBB₁的高，△CBB₁是直角三角形，面積可求，故體積可求．

解答：證明：（Ⅰ）因為CC₁⊥平面ABC，
又CC₁?平面C₁CD，
所以平面C₁CD⊥平面ABC．（4分）
（Ⅱ）證明：連接BC₁交B₁C于點O，連接DO．
則O是BC₁的中點，DO是△BAC₁的中位線．
所以DO∥AC₁．（6分）
因為DO?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
所以AC₁∥平面CDB₁．（9分）
（Ⅲ）解：因為CC₁⊥平面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC．
所以BB₁為三棱錐D-CBB₁的高．（11分）
VD-CBB1=VB1-CBD=

1

3

S△BCD•BB1=

1

3

×

1

2

×

3

4

×22×4=

2 3

3

．
所以三棱錐D-CBB₁的體積為

2 3

3

．（14分）

點評：本題考查面面垂直的判定、線面平行的判定，用等體積法求三棱錐的體積．