Question

(本小題滿分13分)

設(shè)雙曲線，點(diǎn)A、B分別為雙曲線C實(shí)軸的左端點(diǎn)和虛軸的上端點(diǎn)，點(diǎn)、分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M、N是雙曲線C的右支上不同兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn)．已知在雙曲線C上存在一點(diǎn)P，使得．

（Ⅰ）求雙曲線C的離心率；

（Ⅱ）設(shè)為正常數(shù)，若點(diǎn)Q在直線上，求直線MN在y軸上的截距的取值范圍.　

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）直線MN在y軸上的截距的取值范圍是

解析:

（Ⅰ）由題設(shè)，點(diǎn)，，，，其中.（1分）

因?yàn)?img width=188 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/199/209199.gif" >，則.

設(shè)點(diǎn)P，則，所以，.       （3分）

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，所以，即.       （4分）

因?yàn)?img width=37 height=15 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/8/209208.gif" >，所以，即，故離心率．                    （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則.                                 （7分）

若軸，則Q在x軸上，不合題意.

設(shè)直線MN的方程為，代入，得，即

.                            （*）            （9分）

若，則MN與雙曲線C的漸近線平行，不合題意.

設(shè)點(diǎn)，，，則

，，.                  （10分）

若點(diǎn)Q在直線上，則.

因?yàn)辄c(diǎn)M、N在雙曲線的右支上，所以m≠0，從而k＝4.                         （11分）

此時(shí)，方程(*)可化為.

由，得.                                （12分）

又M、N在雙曲線C 的右支上，則，所以.

故直線MN在y軸上的截距的取值范圍是．                         （13分）