Question

已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：
①函數(shù)f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；
②在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是，且最大值是．請(qǐng)解答以下問題
（1）判斷函數(shù)是否屬于集合M？并說明理由；
（2）判斷函數(shù)g（x）=-x³是否屬于集合M？并說明理由．若是，請(qǐng)找出滿足②的閉區(qū)間[a，b]；
（3）若函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）看是否同時(shí)符合①②即可，符合的話，成立，反之不成立．
（2）看是否同時(shí)符合①②即可，對(duì)于閉區(qū)間[a，b]，只需要利用f（x）在[a，b]上的最小值是，且最大值是就可求．
（3）已經(jīng)符合①②，故存在閉區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是，且最大值是，再利用單調(diào)性求出t的取值范圍．
解答：解：（1）∵，
在上遞減，在上遞增，
∴不屬于M．（4分）
（2）∵g（x）=-x³在R上遞減，
∴若g（x）=-x³屬于M，則即（9分）
（3）∵且為增函數(shù)
∴
∴方程，在[1，+∞）內(nèi)有兩解
即，在[1，+∞）內(nèi)有兩解，所以t
化為：x²-4（t+1）x+4t²+4=0
則
解得t＞0，綜上實(shí)數(shù)t的取值范圍是（0，]．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道帶新定義的探究性的題目，在做這一類型題時(shí)，關(guān)鍵點(diǎn)是弄清題目中的新定義，并會(huì)用它來解題．