Question

某學生對函數f（x）=2xcosx進行研究后，得出如下四個結論：
（1）函數f（x）在[-π，0]上單調遞增，在[0，π]上單調遞減；
（2）存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立；
（3）點(

π

2

，0)是函數y=f（x）圖象的一個對稱中心；
（4）函數y=f（x）圖象關于直線x=π對稱．
其中正確的

 

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：對函數f（x）進行求導，根據導數的正負與原函數的增減性的關系可判斷（1）不對；
根據y=cosx是有界函數可得（2）對；
根據函數基本性質--對稱性的應用可判斷（3）（4）不對．

解答：解：∵f（x）=2xcosx是一個奇函數，在對稱的區(qū)間上單調性相同，故不對，排除（1）
因為|cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故（2）對，
因為f（

π

2

+x）+f（

π

2

-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，所以點(

π

2

，0)不是函數y=f（x）圖象的一個對稱中心，
故（3）不對．
因為f（π+x）=2（π+x）cosx，f（π-x）=2（π-x）cosx，∴f（π+x）≠f（π-x），∴函數y=f（x）圖象不關于直線x=π對稱
故（4）不對
故答案為：（2）

點評：本題主要考查函數單調性與其導函數的正負之間的關系以及函數的基本性質--對稱性的應用．屬中檔題．