已知拋物線y2＝2px(q＞0)，過動(dòng)點(diǎn)M(a，0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，｜AB｜≤2p．

(1)

求a的取值范圍

(2)

若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求Rt△NAB的面積的最大值．

答案：
解析：

(1)

　　解：直線l的方程為y＝x－a，代入y2＝2px，得x2－2(a＋p)x＋a2＝0．

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　則

　　又y1＝x1－a，y2＝x2－a，

　　∴｜AB｜＝

　　　　　�。�

　　∵0＜｜AB｜≤2p，∴0＜8p(p＋2a)≤4p2，

　　∴－＜a≤－．

　　分析：研究直線和圓錐曲線的關(guān)系，通常利用韋達(dá)定理得出兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系，而不是個(gè)別求解．需要注意首先要判別方程的根的情況．

　　點(diǎn)評(píng)：直線被圓錐曲線截得的線段長可用弦長公式·表示，其中k為直線的斜率，△為關(guān)于x的方程的根的判別式，a為關(guān)于x的二次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)；

(2)

　　設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q，令其坐標(biāo)為(x3，y3)，則

　　x3＝＝a＋p，y3＝＝p．

　　∴｜QM｜2＝(a＋p－a)2＋(p－0)2＝2p2．

　　又△MNQ為等腰直角三角形，

　　∴｜QN｜＝｜QM｜＝p，

　　∴S△NAB＝｜AB｜·｜QN｜＝p·｜AB｜≤p2，其中當(dāng)且僅當(dāng)｜AB｜＝2p時(shí)等號(hào)成立，

　　即△NAB的面積最大值為p2．

　　點(diǎn)評(píng)：求最值時(shí)，一般情況下應(yīng)說明等號(hào)成立的條件．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知拋物線y2＝2px（p＞0）.過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p.

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值.

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(1)求a的取值范圍；

(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．

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(Ⅱ)過點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，并在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M不在x軸上時(shí)，證明：是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．

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