Question

函數(shù)f（x）=

1

3

x3+mx-1，g（x）=mx²-

2

3

（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）若m＞0且函數(shù)f（x）≥g（x）在x∈（0，

1

2

]上有解，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

1

3

x3+mx-1，知f′（x）=x²+m．由此能判斷f（x）的單調(diào)性．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-mx2+mx-

1

3

≥0在（0，

1

2

]上有解，則F（x）_max≥0．由F′（x）=x²+m（1-2x）≥0，知F（x）在（0，

1

2

]上單調(diào)遞增，F(x)max=F(

1

2

) ≥0，由此能求出m的范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

3

x3+mx-1，
∴f′（x）=x²+m．
∵m≥0時(shí)，f′（x）=x²+m≥0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
m＜0時(shí)，由f′（x）=x²+m＞0，得，x＜-

-m

，或x＞

-m

．
由f′（x）=x²+m＜0，得，-

-m

＜x＜

-m

．
∴當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）在（-∞，-

-m

），（

-m

，+∞）是單調(diào)遞增；在（-

-m

，

-m

）是單調(diào)遞減．
（2）∵數(shù)f（x）=

1

3

x3+mx-1，g（x）=mx²-

2

3

，
令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-mx2+mx-

1

3

≥0在（0，

1

2

]上有解，
∴F（x）_max≥0．
∵F′（x）=x²+m（1-2x）≥0，
∴F（x）在（0，

1

2

]上單調(diào)遞增，
∴F(x)max=F(

1

2

) ≥0，
∴F（x）_max=F（

1

2

）=

1

3

×

1

8

-

1

4

m+

1

2

m-

1

3

=

1

4

m-

7

24

≥0，
∴m≥

7

6

．
故m的范圍是[

7

6

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．