Question

如圖，一個(gè)粒子在第一象限及坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（0，1），然后它接著按圖示在x軸、y軸的平行方向來回運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，求2006秒時(shí)，這個(gè)粒子所處的位置．

Answer 1

解：設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到A₁，A₂，…，A_n時(shí)所用的間分別為a₁，a₂，…，a_n，則a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，a_n-a_n-1=2n，將a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，a₄-a₃=2×4，…，a_n-a_n-1=2n相加得：a_n-a₁=2（2+3+4+…+n）=n²+n-2，∴a_n=n（n+1）．44×45=1980，故運(yùn)動(dòng)了1980秒時(shí)它到點(diǎn)A₄₄（44，44）；又由運(yùn)動(dòng)規(guī)律知：A₁，，A₂，…，A_n中，奇數(shù)點(diǎn)處向下運(yùn)動(dòng)，偶數(shù)點(diǎn)處向左運(yùn)動(dòng)．故達(dá)到A₄₄（44，44）時(shí)向左運(yùn)動(dòng)26秒到達(dá)點(diǎn)（18，44），即運(yùn)動(dòng)了2006秒．所求點(diǎn)應(yīng)為（18，44）．
分析：分析粒子在第一象限的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到數(shù)列{a_n}通項(xiàng)的遞推關(guān)系式a_n-a_n-1=2n是本題的突破口，對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探索知：A₁，A₂，…，A_n中，奇數(shù)點(diǎn)處向下運(yùn)動(dòng)，偶數(shù)點(diǎn)處向左運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察，細(xì)心總結(jié)規(guī)律．