Question

公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₃=7，且a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設a_n=b_n+1-b_n，b₁=1，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列{a_n}中a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關系式，再利用等差數(shù)列的通項公式化簡，得出首項與公差的關系，根據(jù)a₃的值，確定出首項與公差，即可得到等差數(shù)列的通項公式；
（2）分別把n=1，2，…，n-1代入a_n=b_n+1-b_n，等式左右兩邊分別相加，左邊利用等差數(shù)列的求和公式化簡，右邊抵消合并后將b₁的值代入，整理后即可得到數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列，
∴a₄²=a₂•a₉，即（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+8d），
整理得：6a₁d+9d²=9a₁d+8d²，即d²=3a₁d，
∵d≠0，∴d=3a₁，
又a₃=a₁+2d=7a₁=7，
∴a₁=1，d=3，
則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）∵b₁=1，a_n=3n-2，a_n=b_n+1-b_n，
∴a₁=b₂-b₁，a₂=b₃-b₂，…，a_n-1=b_n-b_n-1，
∴a₁+a₂+••+a_n-1=b_n-b₁，即

(n-1)(a1+an-1)

2

=

(n-1)(3n-4)

2

=b_n-1，
則b_n=

(n-1)(3n-4)

2

+1=

3n2-7n+6

2

．

點評：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式，以及等差數(shù)列的求和公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關鍵．