Question

如圖所示，P是拋物線C：y=x²上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程，并求點(diǎn)M到x軸的最短距離．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P的切線斜率k=x，求出直線l的方程，設(shè)出Q、M坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出m的軌跡方程，再用基本不等式求出點(diǎn)M到x軸的最短距離．
解答：解：設(shè)P（x，y），則y=，
∴過點(diǎn)P的切線斜率k=x，
當(dāng)x=0時(shí)不合題意，∴x≠0．
∴直線l的斜率k_l=-，
∴直線l的方程為y-．
此式與y=聯(lián)立消去y得
x²+
設(shè)Q（x₁，y₁），M（x，y）．
∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，
∴
消去x，得y=x²++1（x≠0）就是所求的軌跡方程．
由x≠0知x²＞0，
∴y=x²++1≥2
上式等號(hào)僅當(dāng)x²=，即x=±時(shí)成立，
所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是+1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率，軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，是中檔題．