Question

 如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，AB=AC=2，以PA為直徑的球O和PB、PC分別交于B₁、C₁

（1）求證B₁C₁∥平面ABC

（2）若二面角C—PB—A的大小為arctan2,試求球O的表面積。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1)連接AC₁、AB₁

∵PA⊥底面ABC

∴PA⊥AB、PA⊥AC

又∵AB=AC，易得△APC≌△APB

∴BP=CP

∠APB₁=∠APC₁

∵AP為球O的直徑，∴AC₁⊥PC₁

AB₁⊥PB₁   ∴cos∠APB₁==cos∠APC₁=

∴PB₁=PC₁……………………（3分）

∴  ∴B₁C₁∥BC

又∵B₁C₁平面ABC，BC平面ABC

∴B₁C₁∥平面ABC   …………………………（6分）

（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD⊥平面ABP，過(guò)D作DE⊥PB于E，連CE，由三垂線定理知CE⊥PB

∴∠CED是二面角C—PB—A的平面角，即∠CED=arctan

∴tan∠CED=

∴DE=

sin∠PBA=

∴∠PBA=30°…………（9分）

∴AP=ABtan∠PBA=

∴球O的半徑R=1………………（11分）

∴球O的表面積為…………（12分）