Question

22．設函數.

（Ⅰ）證明,其中k為整數；

（Ⅱ）設為的一個極值點，證明；

（Ⅲ）設在(0,+∞)內的全部極值點按從小到大的順序排列,證明.

Answer 1

22. （Ⅰ）證明：由函數f(x)的定義，對任意整數k，有

f(x+2kπ)－f(x)=(x+2kπ)sin(x+2kπ)－x sin x

           =(x+2kπ)sin x－x sin x

           =2kπsin x

（Ⅱ）證明：函數f(x)在定義域R上可導，

     f’(x)= sin x + x cos x.

令f’(x)=0，得sin x + x cos x=0

    顯然，對于滿足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化簡為x=－tanx. 如圖所示，此方程一定有解，f(x)的極值點x₀一定滿足tan x₀=－x₀

 由sin²x=

  =，得

 sin²x₀=

因此，

[f(x₀)]²=x₀²sin²x²=

（Ⅲ）證明：設x₀>0是f’(x)=0的任意正實根，即x₀=－tanx₀，則存在一個非負整數k，使       x₀∈（+kπ, π+kπ），

即x₀在第二或第四象限內，由①式，f’(x)=cos x(tan x+x)在第二象限或第四象限中的符號可列表如下：

x		(+kπ, x0)	x0	(x0, π+kπ)
f’(x)的符號	k為奇數	－	0	+
	k為偶數	+	0	－

所以滿足f’(x)=0的正根x₀都為f(x)的極值點

由題設條件，a₁,a₂,…a_n,…為方程x=－tan x 的全部正實根且滿足

a₁2<…a_n<…,

那么對于n=1,2,…,

    a_n+1－a_n=－(tan a _n+1－ tan a_n)

          = －(1+tan a_n+1·tan a_n)tan(a_n+1－a_n)            ②

由于+(n－1)π＜a_n＜π+(n－1)π, +nπ＜a_n+1＜π+nπ

，則

            < a_n+1 －a_n<

由于tan a_n+1·tan a_n>0，由②式知tan (a _n+1－a_n)<0.由此可知a_n+1－a_n必在第二象限，

即  a_n+1－a_n<π

綜上，< a_n+1－a_n<π.