精英家教網(wǎng)選做題A.平面幾何選講
過(guò)圓O外一點(diǎn)A作圓O的兩條切線AT、AS,切點(diǎn)分別為T、S,過(guò)點(diǎn)A作圓O的割線APN,
證明:
AT2
AN2
=
PT•PS
NT•NS

B.矩陣與變換(10分)
已知直角坐標(biāo)平面xOy上的一個(gè)變換是先繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,再作關(guān)于x軸反射變換,求這個(gè)變換的逆變換的矩陣.
C.坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知A是曲線ρ=12sinθ上的動(dòng)點(diǎn),B是曲線ρ=12cos(θ-
π
6
)
上的動(dòng)點(diǎn),試求線段AB長(zhǎng)的最大值.D.不等式選講
已知m,n是正數(shù),證明:
m3
n
+
n3
m
≥m2+n2
分析:A、由題意過(guò)圓O外一點(diǎn)A作圓O的兩條切線AT、AS,切點(diǎn)分別為T、S,過(guò)點(diǎn)A作圓O的割線APN,只要證明△ATN∽△APT和△ASN∽△APS,利用比例關(guān)系即可證明;
B、利用旋轉(zhuǎn)變換公式直接代入即可得變換的逆變換的矩陣;
C、先將曲線ρ=12sinθ上的動(dòng)點(diǎn),B是曲線ρ=12cos(θ-
π
6
)
上的動(dòng)點(diǎn),化為一般方程 x2+(y-6)2=62,然后利用圓的幾何關(guān)系進(jìn)行求解;
D、不等式兩邊同乘mn,然后利用作差法進(jìn)行化簡(jiǎn)求解;
解答:解:A、∵AT為圓O的切線,
∴∠ATP=∠ANT,∵∠APT=∠PTN+∠ANT,∠ATN=∠ATP+∠PTN
∴∠ATN=∠APT,∴△ATN∽△APT,∴
AT
AP
=
AN
AT
=
TN
PT

∴同理可得△ASN∽△APS,∴
AS
AP
AN
AS
=
SN
PS
,
TN•SN
PT•PS
=
AT•AS
AP2
=
AT2
AT4
AN2
=
AN2
AT2
即證;
B、這個(gè)變換的逆變換是關(guān)于x軸反射變換,再作繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
4
變換,其矩陣為
cos(-
π
4
)
-sin(-
π
4
)
sin(-
π
4
)
cos(-
π
4
)
10
0-1
=
2
2
-
2
2
-
2
2
-
2
2

C、∵ρ=12sinθ∴ρ2=12ρsinθ  可化為:x2+y2=12y,∴x2+(y-6)2=62
是以(0,6)為圓心 半徑是6的圓.設(shè)圓心為O1
同理 ρ=12cosθ   x2+y2=12x  是以(6,0)為圓心,半徑為6的圓  
而ρ=12cos(θ-
π
6
)相當(dāng)于把坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了
π
6
就是30度.
把圓心從極坐標(biāo)θ=0旋轉(zhuǎn)到了θ=
π
6
,圓心到原點(diǎn)距離仍然是6.
可得圓心坐標(biāo)是(3
3
,3)記為O2
把O1,O2的連線,和圓A,圓B分別交于D,E
容易求出它們位置是 D(-3
3
,9)E(6
3
,0)且O1在圓B上,O2在圓A上
那么DE是就是AB的最大值,
假設(shè)圓B上不同于E點(diǎn)的另一點(diǎn)F.
則 O1F<O1E (O1E是圓B的直徑)  
所以AF=O1F+R=O1F+6<O1E+6=12+6=18
就是Q點(diǎn)只能取點(diǎn)E,才能讓AB取最大值18.此時(shí)A也只能在D點(diǎn).
因?yàn)槿魏螆AP上非D點(diǎn)的點(diǎn)G,都有GE<GO2+EO2<DO2+EO2=18,
∴線段AB長(zhǎng)的最大值為18.
C、∵m,n是正數(shù),證明:
m3
n
+
n3
m
≥m2+n2.兩邊同乘mn,得
m4+n4≥m3n+n3m,m,n>0
作差得,m4+n4-m3n-n3m=m3(m-n)+n3(n-m)=(m3-n3)(m-n)=(m-n)2(m2+mn+n2)≥0,
m3
n
+
n3
m
≥m2+n2
點(diǎn)評(píng):此題是一道綜合題,考查了旋切角的性質(zhì),極坐標(biāo)與一般方程之間的轉(zhuǎn)化,以及不等式的證明,用到了作差法來(lái)求解,綜合性強(qiáng),但是每個(gè)小題都不是很難,做題時(shí)要有耐心,一步一步往下做,不要因?yàn)轭}量大就放棄.
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(考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)分)
A.(不等式選講) 若f(x)=|x-t|+|5-x|的最小值為3,則實(shí)數(shù)t的值是
 

B.(平面幾何選講) 已知C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長(zhǎng)線上,CA切圓O于A點(diǎn),DC是∠ACB的平分線交AE于點(diǎn)F,交AB于D點(diǎn).∠ADF=
 

C.(極坐標(biāo)與參數(shù)方程) 直線
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
(t為參數(shù))被曲線ρ=
2
cos(θ-
π
4
)
所截的弦長(zhǎng)為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年陜西省西安中學(xué)高考數(shù)學(xué)第十三次模擬試卷(理科)(解析版) 題型:填空題

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C.(極坐標(biāo)與參數(shù)方程) 直線(t為參數(shù))被曲線所截的弦長(zhǎng)為   

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