已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，且與橢圓x2＋＝1有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點M(0,1)，與橢圓C交于不同的兩點A、B.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時，求k的取值范圍．

 

【答案】

（1）＋＝1;（2）(－∞，)．

【解析】

試題分析：(1)求出已知橢圓離心率，結(jié)合焦距2c=4，可得a，b；（2）聯(lián)立方程組，依據(jù)點在圓內(nèi)部列出關(guān)系式求解.

試題解析：(1)∵橢圓C的焦距為4，∴c＝2.

又∵橢圓x2＋＝1的離心率為，∴橢圓C的離心率e＝＝＝，∴a＝2，b＝2.

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.

(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.

由(1)知橢圓C的右焦點F的坐標(biāo)為(2,0)，

∵右焦點F在圓的內(nèi)部，∴·<0.∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2<0，

即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1<0.∴(1＋k2)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋5

＝(1＋k2)·＋(k－2)·＋5＝<0，∴k<.

經(jīng)檢驗，當(dāng)k<時，直線l與橢圓C相交．∴直線l的斜率k的取值范圍為(－∞，)．

考點：橢圓方程得確定、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年泉州一中適應(yīng)性練習(xí)文）（12分）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點。

（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點）的斜率KON ；

（2）對于橢圓C上任意一點M ，試證：總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（09年湖北重點中學(xué)4月月考理）（13分

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的

（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點）的斜率KON ；

1）           （2）對于橢圓C上任意一點M ，試證：總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點。

（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點）的斜率KON ；

（2）對于橢圓C上任意一點M ，試證：總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點。

（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點）的斜率KON ；

（2）對于橢圓C上任意一點M ，試證：總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆湖北省武漢市高三9月調(diào)研測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當(dāng)l的斜率為1時，坐標(biāo)原點O到l的距離為．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由．

 

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