Question

定義在R上的函數(shù)f（x）對任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)x₁、x₂，總有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，則必有（　　）

A．函數(shù)f（x）是先增加后減少

B．函數(shù)f（x）是先減少后增加

C．f（x）在R上是增函數(shù)

D．f（x）在R上是減函數(shù)

Answer 1

分析：根據(jù)

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，說明分子分母同號(hào)，即自變量與函數(shù)值變化方向一致，由函數(shù)單調(diào)性的定義即可進(jìn)行判斷，從而得到正確答案．

解答：解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）對任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)x₁、x₂，總有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，
∴（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
∴當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＜0，
即當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＜f（x₂），
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知，f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．函數(shù)單調(diào)性的證明一般選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號(hào)，下結(jié)論．屬于中檔題．