Question

某市環(huán)境研究所對市中心每天環(huán)境污染情況進行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f（x）與時間x（小時）的關(guān)系為f(x)=|

1

2

sin(

π

32

x)+

1

3

-a|+2a，x∈[0，24]，其中a為與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈[0，

3

4

]．若用每天f（x）的最大值作為當天的綜合污染指數(shù)，并記作M（a）．
（Ⅰ）令t=

1

2

sin(

π

32

x)，x∈[0，24]，求t的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)M（a）；
（Ⅲ）為加強對環(huán)境污染的整治，市政府規(guī)定每天的綜合環(huán)境污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合污染指數(shù)是多少？是否超標？

Answer 1

分析：（I）根據(jù)x的取值范圍求出

πx

32

的取值范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)從而可求出t的取值范圍；
（Ⅱ）由（I）化簡f（x）的解析式，討論a的范圍，去掉絕對值，從而求出函數(shù)M（a）；
（Ⅲ）根據(jù)分段函數(shù)，分別研究每段上的最大值，然后與2進行比較，從而確定是否超標．

解答：解：（Ⅰ）x∈[0，24]，

πx

32

∈[0，

3π

4

]，t∈[0，

1

2

]．         　…（4分）
（Ⅱ）令g(t)=|t+

1

3

-a|+2a=|t-(a-

1

3

)|+2a，t∈[0，

1

2

]．
當a-

1

3

＜

1

4

，0≤a＜

7

12

時，(g(t))max=g(

1

2

)=|

5

6

-a|+2a=a+

5

6

． …（6分）
當a-

1

3

≥

1

4

，

7

12

≤a＜

3

4

時，(g(t))max=g(0)=|

1

3

-a|+2a=3a-

1

3

．  …（8分）
M（a）=

a+ 5 6       0≤a＜ 7 12 3a- 1 3 7 12 ≤a≤ 3 4

…（10分）
（Ⅲ）當a∈[0，

7

12

)時，M（a）是增函數(shù)，M(a)＜M(

7

12

)=

17

12

＜2…（11分）
當a∈[

7

12

，

3

4

]時，M（a）是增函數(shù)，M(a)≤M(

3

4

)=

23

12

＜2．…（13分）
所以，市中心污染指數(shù)沒有超標           …（15分）

點評：本題主要考查了根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，以及利用單調(diào)性求最值，同時考查了計算能力和分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．