Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在以F₁（0，）、F₂（0，-）為焦點(diǎn)的橢圓上C，且cos∠F₁PF₂的最小值為0，直線l與y軸交于點(diǎn)Q（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A，B，且
（1）求橢圓C的方程；
（2）實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可知c²的值，設(shè)出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，在三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出cos∠F₁PF₂的最小值，由最小值等于0求出a²的值，從而求出b²的值，則橢圓的方程可求；
（2）由題意知直線l的斜率存在，且不等于0，設(shè)出直線l的方程，和橢圓聯(lián)立后保證判別式大于0，再利用列式找到直線的斜率k和m的關(guān)系，代入判別式后即可求解m的取值范圍．
解答：解（1）由題意．設(shè)|PF₁|+|PF₂|=2a（），由余弦定理，
得
=
==．
又|PF₁|•|PF₂|，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|時(shí)，|PF₁|•|PF₂|取最大值，
此時(shí)cos∠F₁PF₂取最小值，
令，
解得a²=1，∵，∴，
故所求P的軌跡方程為．即y²+2x²=1；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），l與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0．
則△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0．
，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124206058581694/SYS201310251242060585816020_DA/16.png">，所以-x₁=3x₂，所以，
所以，即k²（4m²-1）+（2m²-2）=0
當(dāng)時(shí)，上式不成立；
當(dāng)時(shí)，；
把代入△=4（k²-2m²+2）＞0，
得：．
解得m的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解答（1）的關(guān)鍵是利用橢圓的定義和基本不等式得到使cos∠F₁PF₂取最小值0時(shí)的a²，（2）的求解利用了對(duì)點(diǎn)設(shè)而不求的方法，也是該類問題常用的方法，恰當(dāng)利用直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)是解答該題的關(guān)鍵所在．此題是有一定難度題目．