Question

已知點(diǎn)H（-3，0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿(mǎn)足，．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C；
（2）過(guò)定點(diǎn)D（m，0）（m＞0）作直線l交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，E是D點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，試問(wèn)∠AED=∠BED嗎？若相等，請(qǐng)給出證明，若不相等，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）則可得 ，，由 代入整理可求點(diǎn)M的軌跡C；
（2）根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，可證K_AE=-K_BE即可；分兩種情況討論：（1）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，有∠AED=∠BED；（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，利用直線的斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)換可得∠AED=∠BED
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）（x'＞0），∵，．
∴且（3，y'）•（x，y-y'）=0，-------------------（2分）∴．∴y²=4x（x＞0）．-----------------（4分）
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以O(shè)（0，0）為頂點(diǎn)，以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線（除去原點(diǎn)）-（5分）
（2）①當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，有∠AED=∠BED；-（6分）
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，
依題意，可設(shè)直線l的方程為y=k（x-m）（k≠0，m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組消去x并整理，得ky²-4y-4km=0，
∴．-----------（8分）
設(shè)直線AE和BE的斜率分別為k₁、k₂，則：k₁+k₂=====．------（11分）
∴tan∠AED+tan（180°-∠BED）=0，∴tan∠AED=tan∠BED，
∵，∴∠AED=∠BED．
綜合①、②可知∠AED=∠BED．-------------------------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題以向量得數(shù)量積的坐標(biāo)表示為載體，考查了圓錐曲線得求解及直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系得求解．屬于綜合試題．