Question

某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,下圖（1）、（2）、（3）、（4）她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮;現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形

（Ⅰ）求出的值；

（Ⅱ）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出與之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出的表達(dá)式；

（Ⅲ）求的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）41（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】本題主要考查歸納推理，其基本思路是先分析具體，觀察，總結(jié)其內(nèi)在聯(lián)系，得到一般性的結(jié)論，（3）問(wèn)考查了裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，屬于中檔題

（1）先分別觀察給出正方體的個(gè)數(shù)為：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f（5）；

（2）總結(jié)一般性的規(guī)律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用疊加法，可求f（n）的表達(dá)式；

（3）根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)，利用裂項(xiàng)法求和，即可得到解決．

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811181483646294/SYS201209081118381894329915_DA.files/image004.png">

由上式規(guī)律，所以得出

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811181483646294/SYS201209081118381894329915_DA.files/image006.png">

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，,則