【題目】已知函數(shù)(b為常數(shù))
(1)若b=1,求函數(shù)H(x)=f(x)﹣g(x)圖象在x=1處的切線方程;
(2)若b≥2,對(duì)任意x1,x2∈[1,2],且x1≠x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求實(shí)數(shù)b的值.
【答案】(1).(2)
【解析】
(1)將b=1代入,求導(dǎo)后得到斜率,求出切點(diǎn),利用點(diǎn)斜式得到切線方程;
(2)分析可知,函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),進(jìn)而問題等價(jià)于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2),進(jìn)一步等價(jià)于在區(qū)間[1,2]上恒成立,由此即可得解.
(1)若b=1,函數(shù),
∴,故又切點(diǎn)為,
故所求切線方程為2x﹣2y﹣1=0;
(2)不妨設(shè)x1>x2,
∵函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),
∴f(x1)>f(x2),
∵函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱軸為x=b,且b>2,
∴當(dāng)b≥2時(shí),函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),
∴g(x1)<g(x2),
∴|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|等價(jià)于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2),
等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),
等價(jià)于在區(qū)間[1,2]上恒成立,
等價(jià)于在區(qū)間[1,2]上恒成立,
∴b≤2,
又b≥2,故b=2.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,若存在,求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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