【題目】已知函數(shù)，（，是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當時，，求的取值范圍．

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求得，然后對分成和兩種情況進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.

（2）首先令，代入，求得的一個取值范圍.構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)函數(shù)研究的最小值，由此求得的取值范圍.

（1），

當時，，函數(shù)在上遞減；

當時，由，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，

由，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

綜上所述，當時，在上遞減；當時，在上遞減，在上遞增.

（2）當時，，

即，故，

令

，

則，

若，則當時，，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當時，

，

當時，單調(diào)遞增，

則，符合題意；

若，則，

，

由得，

故，

存在，使得，

且當時，，

在上單調(diào)遞減，

當時，，不合題意，

綜上，實數(shù)的取值范圍為．

練習冊系列答案
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【題目】國慶節(jié)來臨，某公園為了豐富廣大人民群眾的業(yè)余生活，特地以“我們都是中國人”為主題舉行猜謎語競賽.現(xiàn)有兩類謎語：一類叫事物謎，就是我們常說的謎語；另一類叫文義謎，也就是我們常說的燈謎，共8道題，其中事物謎4道題，文義謎4道題，孫同學(xué)從中任取3道題解答.

（1）求孫同學(xué)至少取到2道文義謎題的概率；

（2）如果孫同學(xué)答對每道事物謎題的概率都是，答對每道文義謎題的概率都是，且各題答對與否相互獨立，已知孫同學(xué)恰好選中2道事物謎題，1道文義謎題，用表示孫同學(xué)答對題的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面，底面四邊形是菱形，點O是對角線與的交點，，M是的中點，連接．

（1）證明：平面；

（2）證明：平面平面；

（3）當三棱錐的體積等于時，求的長．

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【題目】已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，若對任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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【題目】已知橢圓的右焦點為，原點為，橢圓的動弦過焦點且不垂直于坐標軸，弦的中點為，過且垂直于線段的直線交射線于點．

（1）證明：點在定直線上；

（2）當最大時，求的面積．

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【題目】端午節(jié)是我國民間為紀念愛國詩人屈原的一個傳統(tǒng)節(jié)日.某市為了解端午節(jié)期間粽子的銷售情況，隨機問卷調(diào)查了該市1000名消費者在去年端午節(jié)期間的粽子購買量（單位：克），所得數(shù)據(jù)如下表所示：

購買量

人數(shù)

100

300

400

150

50

將煩率視為概率

（1）試求消費者粽子購買量不低于300克的概率；

（2）若該市有100萬名消費者，請估計該市今年在端午節(jié)期間應(yīng)準備多少千克棕子才能滿足市場需求（以各區(qū)間中點值作為該區(qū)間的購買量）.

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【題目】若存在一個實數(shù)，使得成立，則稱為函數(shù)的一個不動點，設(shè)函數(shù)（， 為自然對數(shù)的底數(shù)），定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足，且當時， .若存在，且為函數(shù)的一個不動點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知函數(shù)，則下列判斷中是真命題的有（ ）．

①，；②是偶函數(shù)；③對于任意一個非零有理數(shù)，，；④存在三個點，，，使得為等邊三角形．

A.①②③B.①②③④C.①③④D.②③④

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【題目】已知函數(shù)，其中常數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（2）設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為．當時，若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“類對稱點”．當時，是否存在“類對稱點”？若存在，請求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．

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