Question

用總長為14.8米的鋼條制成一個(gè)長方體容器的框架，如果所制的容器的底面的長比寬多0.5米，那么高為多少時(shí)容器的容器最大？并求出它的最大容積．

Answer 1

解：設(shè)容器底面寬為xm，則長為(x＋0.5)m，高為(3.2－2x)m.

由解得0<x<1.6，

設(shè)容器的容積為ym³，則有

y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x³＋2.2x²＋1.6x（0<x<1.6） y′＝－6x²＋4.4x＋1.6， 令y′＝0，即－6x²＋4.4x＋1.6＝0，

解得x＝1，或x＝－(舍去)．

∵0<x<1時(shí)，y′>0；1<x<1.6時(shí)，y′<0.

∴在定義域(0,1.6)內(nèi)x＝1是唯一的極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最大值為1.8.  

此時(shí)容器的高為3.2－2＝1.2m.  

答：容器高為1.2m時(shí)容器的容積最大，最大容積為1.8m³.