Question

討論函數f（x）=axe-x（a≠0）在區(qū)間[2，+∞）上的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：f（x）=axe-x=aelnxe-x=aee-xlnx，
令u=e^-xlnx，則函數f（x）是由函數y=ae^u，與函數u═e^-xlnx復合而成，
由復合函數的單調性判斷函數f（x）的單調性．

解答： 解：f（x）=axe-x=aelnxe-x=aee-xlnx，
令u=e^-xlnx，則函數f（x）是由函數y=ae^u，與函數u═e^-xlnx復合而成，
∵u′=-e-xlnx+

1

x

e-x=e^-x（

1

x

-lnx），
∵（

1

x

-lnx）′=-

1

x2

-

1

x

在[2，+∞）上恒為負值，∴（

1

x

-lnx）在[2，+∞）上遞減，
∵（

1

x

-lnx）＜

1

2

-ln2=

1-2ln2

2

=

1-ln4

2

＜0，∴u′=-e-xlnx+

1

x

e-x=e^-x（

1

x

-lnx）＜0，
∴函數u═e^-xlnx在[2，+∞）上遞減，
∵當a＞0時，函數y=ae^u遞增，∴由復合函數的單調性知函數f（x）在區(qū)間[2，+∞）上遞減；
∵當a＜0時，函數y=ae^u遞減，∴由復合函數的單調性知函數f（x）在區(qū)間[2，+∞）上遞增．

點評：本題主要考查復合函數的單調性，同時把函數的表達式恒等變形是解題的關鍵．