Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

cos²x+sin2x-

3

+1（x∈R）．求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：將函數(shù)f（x）解析式第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）的值域．

解答：解：函數(shù)f（x）=2

3

cos²x+sin2x-

3

+1
=

3

（1+cos2x）+sin2x-

3

+1
=

3

cos2x+sin2x+1
=2sin（2x+

π

3

）+1，
（Ⅰ）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
∴2sin（2x+

π

3

）+1∈[0，3]，即f（x）的值域?yàn)閇0，3]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．