Question

已知函數(shù)對任意的恒有成立.

(1)當b=0時，記若在）上為增函數(shù)，求c的取值范圍；

(2)證明：當時，成立；

(3)若對滿足條件的任意實數(shù)b，c，不等式恒成立，求M的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先要討論題設的先決條件對恒成立，，即恒成立，這是二次不等式，由二次函數(shù)知識，有，化簡之后有，從而．時，在上是增函數(shù)，我們用增函數(shù)的定義，即設，恒成立，分析后得出的范圍；（2）

，問題變成證明在時恒成立，在的情況下，，而，可見，那當時，一定恒有，問題證畢；（3）由（2），在時，，這時柺驗證不等式成立，當時，不等式可化為，因此要求的最大值或者它的值域，

，而，因此，由此的取值范圍易得，的最小值也易得．

試題解析：（1）因為任意的恒有成立，

所以對任意的，即恒成立.

所以，從而.，即：.

當時，記（）

因為在上為增函數(shù)，所以任取，，

恒成立.

即任取，，成立，也就是成立.

所以，即的取值范圍是.

（2）由（1）得，且，

所以，因此.

故當時，有.

即當時，.

（3）由（2）知，，

當時，有

設，則，

所以，由于的值域為，

因此當時，的取值范圍是；

當時，由（1）知，.此時或0，，

從而恒成立.

綜上所述，的最小值為.

考點：（1）函數(shù)的單調性；（2）不等式恒成立；（3）函數(shù)的值域，函數(shù)的綜合問題